Download Algorithmische Methoden: Funktionen, Matrizen, Multivariate by Philipp Kügler, Wolfgang Windsteiger PDF

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By Philipp Kügler, Wolfgang Windsteiger

Dies ist der zweite Band von Algorithmische Methoden, ein Lehrbuch zur computerorientierten Begleitung der research und Linearen Algebra. Als mathematische Objekte dienen Funktionen, Matrizen und multivariate Polynome der Gliederung des Bandes. Neben den Grundlagen dazu werden die Darstellung der Objekte am laptop, wie etwa die Termdarstellung von Funktionen, sowie darauf definierte Grundoperationen wie zum Beispiel die Faktorisierung einer Matrix besprochen. Als roter Faden führt das Lösen der mit Hilfe der Objekte beschreibbaren Gleichungssysteme durch den textual content. Eine Besonderheit dabei ist das Lösen polynomialer Gleichungssysteme mit Hilfe von Gröbner-Basen. Alle Lösungsalgorithmen werden anhand von Beispielen illustriert, die als in Matlab oder Mathematica ausführbare Downloads zur Verfügung stehen.

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Andernfalls unterteilen wir [a, b] in [a, c] und [c, b] mit c = (a + b)/2 und fahren auf beiden Intervallen rekursiv fort. Dabei kann auf die bereits zuvor berechneten Funktionswerte y = f (a), f (c), f (b) zurückgegriffen werden. Das daraus entstehende Verfahren nennt man eine adaptive Simpson-Regel, siehe BestIntAdSimp. AlgorithmusBestIntAdSimp: Bestimmtes Integral mit adaptiver Simpson-Regel h ← (b − a)/2, c ← (a + b)/2 1 ← f ((a + c)/2), 2 ← f ((c + b)/2) S1 ← h · (y1 + 4y2 + y3 )/3 S2 ← h · (y1 + 4 1 + 2y2 + 4 2 + y3)/6 1 N4 ← 15 (16S2 − S1 ) ı ← S2 − N4 if |ı| ≤ " I ← N4 else y ← y 1 , 1 , y2 , y ← y 2 , 2 , y3 I1 ← BestIntAdSimp(f , a, c, y , "/2) I2 ← BestIntAdSimp(f , c, b, y , "/2) I ← I1 + I2 return I b Aufruf: BestIntAdSimp(f , a, b, y, ") Eingabe: f stetig auf [a, b], " ∈ R+ , y ∈ R3 mit: y1 = f (a), y2 = f ((a + b)/2), y3 = f (b).

Ak,l Ak,l+1 . . Ak,n ⎟ ⎟ = 11 12 ⎜ A=⎜ ⎟ A . . A A . . A 21 22 k+1,l k+1,l+1 k+1,n ⎟ ⎜ k+1,1 ⎟ ⎜ . . . . .. . ⎠ .. ⎝ .. Am,1 . . Am,l Am,l+1 . . Am,n mit den Blöcken 11 = A1:k,1:l 12 = A1:k,l+1:n 21 = Ak+1:m,1:l 22 = Ak+1:m,l+1:n partitionieren. Die Untermatrix Ai• := Ai,1:n ∈ R1×n steht für die i-te Zeile von A, analog dazu schreiben wir A•j := A1:m,j ∈ Rm×1 für die j-te Spalte von A, also2 A1• A= .. und A = (A•1 . . A•n ). Am• Jede Spalte A•j kann dabei auch als Spaltenvektor in Rm aufgefasst werden, ähnlich interpretiert man Ai• als Zeilenvektor der Länge n, siehe Band 1.

Für 1 ≤ k < m und 1 ≤ l < n etwa kann man eine Matrix A gemäß1 ⎞ ⎛ A1,1 . . A1,l A1,l+1 . . A1,n . ⎟ .. ⎜ .. . ⎜ . .. .. ⎟ . ⎟ ⎜ ⎜ Ak,1 . . Ak,l Ak,l+1 . . Ak,n ⎟ ⎟ = 11 12 ⎜ A=⎜ ⎟ A . . A A . . A 21 22 k+1,l k+1,l+1 k+1,n ⎟ ⎜ k+1,1 ⎟ ⎜ . . . . .. . ⎠ .. ⎝ .. Am,1 . . Am,l Am,l+1 . . Am,n mit den Blöcken 11 = A1:k,1:l 12 = A1:k,l+1:n 21 = Ak+1:m,1:l 22 = Ak+1:m,l+1:n partitionieren. Die Untermatrix Ai• := Ai,1:n ∈ R1×n steht für die i-te Zeile von A, analog dazu schreiben wir A•j := A1:m,j ∈ Rm×1 für die j-te Spalte von A, also2 A1• A= ..

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