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By Günter Meinardus

Erst in den letzten Jahren hat sich derjenige inform der Approximations theorie, der sich auf numerische Fragestellungen anwenden liiBt, starker entwickelt. Das Prinzip der in einem gewissen Sinne besten Anniiherung von Funktionen gewann insbesondere durch die Verwendung elektro nischer Rechenmaschinen an Bedeutung. Einige der theoretischen Grundlagen, die zur Behandlung der auftretenden Probleme herange zogen werden mussen, finden sich verstreut in wenigen Buchern. Der weitaus gr6Bte Teil der theoretischen und praktischen Untersuchungen ist jedoch nur in den Originalarbeiten nachzulesen. Hieraus ergab sich die Zielsetzung des vorliegenden Buches: Es sollte eine Zusammen stellung der wesentlichen Ergebnisse der Approximationstheorie gegeben werden, die einerseits ein rasches Eindringen in die modernen Entwick lungen dieses Gebietes ermoglicht und andererseits eine gewisse Voll stiindigkeit auf dem Problemkreis der Tschebyscheff-Approximationen bietet, womit keineswegs gemeint ist, daB eine vollstiindige Literatur ubersicht angestrebt wurde. Die Auswahl erfolgte stets nach dem immer noch subjektiven Gesichtspunkt der Bedeutung fiir die Anwendungen. Dies gilt z. B. auch fur die asymptotischen Untersuchungen des three, denn ich bin der Meinung, daB guy sich auch beinumerischen Approximationen uber die, wenigstens asymptotisch zu erwartende Genauigkeit Gedanken machen sollte. quick ausschlieBlich habe ich mich auf die Theorie der gleich miiBigen Approximation beschriinkt, da diese die weitaus groBte prak tische Bedeutung besitzt. Das erste Kapitel behandelt lineare Approximationen. Der three ent hiilt wohl den heute kiirzesten Zugang zur linearen Theorie.

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SHAPIRO [1] untersucht. Obgleich der folgende Satz, der bis auf kleine Anderungen von T. S. RIVLIN und H. S. SHAPIRO starnmt, hier fiir beliebige Dimension von B aufgeschrieben wird, ist er, ahnlich wie der Haarsche Satz, doch nur fiir Dimensionen kleiner oder gleich 2 sinnvoll. Satz 25: Es sei Beine abgeschlossene und beschriinkte Teilmenge des reellen k-dimensionalen Raumes. Ferner sei B die Menge der Randpunkte von B. Der lineare Teilraum V des reellen Raumes C(B) habe die Dimension n mit n~k+ 1 und werde aulgespannt von den Funktionen u.

H. falls +,. (1: f g(t) dt=o -,. 27) und besitzt in diesem Falle auch kein konstantes Glied. Es sei nun T,,(rp) eine trigonometrische Summe der Ordnung n ohne konstantes Glied mit Man setze IIg' - T"II =E; (g'). v(rp) = ! T,,(t) dt. o Da v (rp) eine trigonometrische Summe der Ordnung n ist, folgt nach Satz 39 wobei M = Ilg' - v' I = 11g' -T"II =E; (g') ist. Damit ergibt sich der Satz 40 (D. JACKSON [2J): Die 2n-periodische Funktion g(rp) besitze eine stetige Ableitung g' (rp). 25) ist. 29) die Zahl (g) durch die Zahl E; (g) ersetzt werden, falls das konstante Glied der Fourier-Entwicklung von g(rp) verschwindet.

JACKSON [2J): Die 2n-periodische Funktion g(rp) besitze eine stetige Ableitung g' (rp). 25) ist. 29) die Zahl (g) durch die Zahl E; (g) ersetzt werden, falls das konstante Glied der Fourier-Entwicklung von g(rp) verschwindet. Eine wiederholte Anwendung von Satz 40 liefert dann den E; Satz 41 (D. JACKSON [2J): Die 2n-periodische Funktion g(rp) besitze stetige Ableitungen bis zur Ordnung k. Die k-te Ableitung g(k) (rp) gehiire zur Klasse LipMIX. 25) ist. § S. Abschatzung der GroJ3enordnung des Fehlers S4 Existiert die Ableitung g(k+ 1) (9'), und ist sie beschrankt, 1g(1Hl) (9')1 so folgt noch ~ Mk+l' ET" (g) ~ ~k+1 M n- k - 1 • _c; k+l (5·31) Insbesondere erhalt man den Satz: Satz 42 (D.

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