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By Florin Constantinescu

Das vorliegende Buch stellt eine Einführung in die Theorie der Distributionen (verallge­ meinerte Funktionen) und ihrer Anwendungen in der Physik dar. Der zum Verständnis der Theorie notwendige topologische Apparat wurde auf ein minimal reduziert. Lediglich das erste Kapitel gibt eine Einführung in die Theorie der abzählbar normierten Räume. Es wird angenommen, daß der Leser vertraut mit den elementaren Begriffen der Funktionalanalysis (Hilbert- und Banachraum) ist. Das Buch enthält die bereits klassisch gewordenen Kapitel der Theorie der Distributionen, wie: Lokale Eigenschaften von Distributionen, Distributionen mit kompaktem Träger, temperierte Distributionen, Regularisierung divergenter Integrale, Fourier- und Fourier­ Laplace-Transformation, den Satz von Paley-Wiener-Schwartz, Distributionen als Rand­ werte analytischer Funktionen usw. In Kapitel eleven werden Distributionen untersucht, die auf Flächen konzentriert sind; insbesondere auf dem Lichtkegel konzentrierte Distri­ butionen. In den Kapiteln eight, nine, 10 werden verschiedene Anwendungen der Theorie der Distributionen in der relativistischen Physik (Feldtheorie) entwickelt. Kapitel 12 schließlich enthält Probleme der Theorie der Distributionen im Hilbertraum und ihre Anwendungen in der Quantenphysik (Vertauschungsrelationen, Fock-Raum, Quanten­ feldtheorie usw.). Das Buch wendet sich sowohl an Mathematiker, die auch die Anwendungen der Theorie der Distributionen in der Physik kennenlernen wollen; als auch an Physiker, die sich für die Theorie der Distributionen als Teilgebiet der mathematischen und theoretischen Physik interessieren. Das vorliegende Buch entstand aus Vorlesungen, die ich im Jahre 1970 als Humboldt­ Stipendiat an der Universität München gehalten habe. Mein besonderer Dank gilt daher an dieser Stelle Herrn Prof. Dr. W. Güttinger für die Unterstützung in meinen ersten Arbeitsjahren in Deutschland.

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Analog definiert man die höheren Ableitungen nach X. 3. Sei f A eine distributionswertige Funktion (von X) die im Gebiet A nach X o differenzierbar ist. Dann ist - f A(x) nach X differenzierbar und es gilt OXj o 0 0 0 - - f A = - - fA oA OXj OXj OX Beweis. 9). Sei ACe ein Gebiet in C. Eine in dem Gebiet ACe differenzierbare distributionswertige Funktion (von X) heißt eine distributionswertige analytische Funktion bezüglich X. 62 8. 4. Notwendig und hinreichend dafür, daß die distributionswertige Funktion f~ analytisch in A ist, ist, daß alle gewöhnlichen Funktionen (f~,

Rn. h. ,ovllq+1 -+ O. Sei nun ~p(K) die vollständige Hülle des Raumes ~(K) bezüglich der Norm 11' IIp. 3. Der Testraum q} 33 zeigen, daß sogar ~p(K) = 'll;XK) ([4], S. 16). Wir benötigen dieses Ergebnis für unsere 'lg(K) und ~(K) C ~p(K) C 'lg(K) erhält man Zwecke jedoch nicht. 1. Der Raum ~(K) ist ein vollständiger abzählbar normierter Raum. Da ~(K) abzählbar normiert ist (also ist in ~(K) das erste Abzählbarkeitsaxiom erftillt), kann man die Topologie auf~(K) auch durch konvergente Folgen charakterisieren.

E > 0, für E -+ +0. 7) ableiten. 7) beweist man analog. Wir wollen also zeigen, daß (E > 0) lim o € .... R 1). f lim € .... ,o(x) x+iE . = lim o € .... ,0(0) lim € .... ,o(O) + a X-iE -2--2 X f +E dx + lim fX-iE € .... ,o(x) -

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