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Funktionen und Nachweis, daB aHe jene zahlentheoretischen Pradikate, welche nach Vornahme der Arithmetisierung den ursprunglichen metatheoretischen Pradikaten entsprechen, prim. rek. sind. Daraus folgt insbesondere die primitive Rekursivitat der in Hi verwendeten beiden Pradikate "R(x,y)" und "Q( x,z)". 3. V'berfuhrung der prim. rek. Pradikate in arithmetische Pradikate mit Hilfe der GODELschen ,8-Funktion. 4. Angabe von Formeln aus ZL, welche die in 3. benotigten arithmetischen Pradikate formal ausdriicken.

1, falls n >0. falls n ;;. m, falls m ;;. n. -() - {. t 11 • sg n -DI t t 1, falls n=O, 0, falls n > O. 12. Der Rest bei der Division von m durch n: rest(m,n). 13. Der (ganzzahlige) Quotient bei der Division von m durch n: [min P·. Die rekursive Definition der Addition lautet: (a) n n + 0 == n, + m' = (n + m)'. Wollte man dies genauer im Symbolismus der oben angefiihrten fiinf prim. rek. tt "n m" zu schreiben "t(m,nt und erhielte: + (b) t(O,n) = 11l (n) = n, t(m',n) = g(m,t(m,n),n), wobei g(m,r,n) = N(I 32 (m,r,n)) = r'.

L·stelIung (n)i =DI { von n, sofem n =l= 0; 0, falls n = O. , so daB die x-te Potenz von Pi in 11. aufgeht, wahrend die x'-te Potenz von P4 nicht mehr in 11. enthalten ist"). Es wird schlieBlich noch der Begriff der Wertverlaulsrekursian benotigt, wie KLEENE diesen verwendet 26 • Wahrend eine gewohnliche rekursive Definition dann vorliegt, falls der Wert 1(0) einer Funktion vorgegeben wird und der Wert von I(y') mittels des Wertes von I(y) bestimmt werden kann, besteht eine Wertverlaufsrekursion darin, daB zur Bestimmung des Wertes von I(y') aIle oder zumindest mehrere Werte I(x) fiir x < y benotigt werden.

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