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By Oliver Deiser

Das Buch wendet sich an Studienanfänger der Mathematik im Fach- und Lehramtsstudium. Es möchte den Übergang von der Schule zur Universität erleichtern und wertvolle Hilfestellungen während der ersten Fachsemester bieten. Es eignet sich als Begleittext einer einführenden Analysis-Vorlesung und zur Prüfungsvorbereitung. Behandelt werden: Grundlegendes, die reellen und komplexen Zahlen, Folgen und Grenzwerte, Reihen, Stetigkeit, Elementare Funktionen, Differentiation, Integration

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Dann gibt es ein x ∈ X mit s − 1/n ≤ x. Analoge Beweismuster gelten für „s = inf(X)“. 52 2. Die reellen und komplexen Zahlen 2. 7 Die Vollständigkeit Definition (vollständig angeordneter Körper) Sei K ein angeordneter Körper. Dann heißt K (linear) vollständig, falls gilt: (K16) Ist X ⊆ K nichtleer und nach oben beschränkt, so existiert sup(X) in K. X ⊆ K sup(X) existiert X≤s Gibt es eine nichtleere und nach oben beschränkte Menge X ⊆ K, die kein Supremum in K besitzt, so heißt K unvollständig. X ⊆ K sup(X) existiert nicht X≤s Unvollständigkeit : Jede obere Schranke von X lässt sich noch verkleinern.

Dann ist f nicht injektiv. Aber die Einschränkung g = f|[ 0, ∞ [ ist injektiv. Die Umkehrfunktion g− 1 von g ist die Quadratwurzelfunktion auf [ 0, ∞ [, es gilt g−1 (x) = ͙x für alle x ≥ 0. Da f jeden Wert höchstens zweimal annimmt, gilt y = x2 genau dann, wenn x = g−1 (y) = ͙y oder x = − g− 1 (x) = − ͙y . Dass man den rechten Ast der Parabel zur Invertierung auswählt, ist eine natürliche Konvention. Prinzipiell wäre auch der linke Ast geeignet. (2) Die Kosinusfunktion cos : ‫ ޒ → ޒ‬nimmt jeden Wert unendlich oft an.

F [ X 1 ∩ X 2 ] ⊆ f [ X 1 ] ∩ f [ X2 ] mit „=“, falls f injektiv ist f [ X 1 ∪ X 2 ] = f [ X 1 ] ∪ f [ X2 ] f [ X 1 − X2 ] ⊇ f [ X 1 ] − f [ X 2 ] mit „=“, falls f injektiv ist f −1 [ Y1 ∩ Y2 ] = f −1 [ Y1 ] ∩ f −1 [ Y2 ] f −1 [ Y1 ∪ Y2 ] = f −1 [ Y1 ] ∪ f −1 [ Y2 ] f −1 [ Y1 − Y2 ] = f −1 [ Y1 ] − f −1 [ Y2 ] Bilder und Urbilder tauchen in der Analysis häufig auf. Es gilt zum Beispiel (vgl. 5. 9): Das Bild eines Intervalls [ a, b ] unter einer stetigen Funktion ist ein Intervall [ c, d ]. Und eine „höhere Formulierung“ der Stetigkeit einer Funktion f : ‫ ޒ → ޒ‬lautet, dass die Urbilder von offenen Intervallen unter f Vereinigungen von offenen Intervallen sind.

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