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By Michael Günther, Ansgar Jüngel

In der Finanzwelt ist der Einsatz von Finanzderivaten zu einem unentbehrlichen Hilfsmittel zur Absicherung von Risiken geworden. Dieses Buch richtet sich an Studierende der (Finanz-) Mathematik und der Wirtschaftswissenschaften im Hauptstudium, die mehr über Finanzderivate und ihre mathematische Behandlung erfahren möchten. Es werden moderne numerische Methoden vorgestellt, mit denen die entsprechenden Bewertungsgleichungen in der Programmierumgebung MATLAB gelöst werden können. In der Neuauflage wurde insbesondere das Kapitel eight um Fallstudien erweitert, die auf gewisse Aspekte der Finanzkrise Bezug nehmen.

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Es gelte K2 ≥ K1 . Dann folgt f¨ ur alle 0 ≤ t ≤ T : 0 ≤ C(K1 ) − C(K2 ) ≤ (K2 − K1 )e−r(T −t) . (b) Seien C(T1 ) bzw. C(T2 ) die Preise zweier Call-Optionen mit Verfallstagen T1 bzw. T2 und mit Aus¨ ubungspreis K (auf denselben Basiswert). ur alle 0 ≤ t ≤ T : Gilt T2 ≥ T1 , so folgt f¨ C(T2 ) ≥ C(T1 ). 10. Sei C(S, t; K) der Wert einer europ¨ aischen Call-Option in Abh¨angigkeit des Basiswerts S, der Zeit t und des Aus¨ ubungspreises K. , f¨ ur alle K1 , K2 > 0 und 0 ≤ α ≤ 1 gilt C(S, t; αK1 + (1 − α)K2 ) ≤ αC(S, t; K1 ) + (1 − α)C(S, t; K2 ).

Wir sagen, dass X binomialverteilt oder B(n, q)-verteilt ist. 1) n = uX dn−X S. Die Funktion SX m m F (m) = P(X ≤ m) = P(X = k) = k=0 k=0 n k q (1 − q)n−k k ist die Verteilungsfunktion. Ersetzen wir in der Definition der Verteilungsfunktion das Integral durch eine Summe, erkennen wir, dass die Dichtefunktion gerade f (k) = P(X = k) ist. Damit sind der Erwartungswert und die ¨ Varianz von X gegeben durch (Ubungsaufgabe) n n kf (k) = nq, E(X) = (k − E(X))2 f (k) = nq(1 − q). 5) zur Berechnung der Optionspr¨amie C0 schreiben als C0 = SP(Xp ≥ m) − Ke−rT P(Xp ≥ m), wobei Xp bzw.

Zeigen Sie: (a) Wenn X Λ(μ, σ 2 )-verteilt ist, dann ist ln X N (μ, σ 2 )-verteilt. (b) Ist umgekehrt Y N (μ, σ 2 )-verteilt, dann ist eY Λ(μ, σ2 )-verteilt. 46 3 Die Binomialmethode 8. Beweisen Sie, dass die Ableitung des Wiener-Prozesses Wt im folgenden Sinne mit Wahrscheinlichkeit null in einem endlichen Intervall enthalten ist: lim P a ≤ h→0 1 (Wt+h − Wt ) ≤ b h = 0, wobei a, b ∈ R. 9. Betrachten Sie ein binomiales Baummodell f¨ ur den Aktienpreis Sn , wobei n ∈ {0, 1, 2, 3}. Sei S0 = 100, und der Aktienkurs falle oder steige zu jedem Handelszeitpunkt um 10%.

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